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Sur la densité des représentations cristallines de \(\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\)

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Mathematische Annalen Aims and scope Submit manuscript

Abstract

Let \({\mathfrak X }_d\) be the \(p\)-adic analytic space classifying the semisimple continuous representations \(\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p) \rightarrow \mathrm GL _d(\overline{\mathbb Q }_p)\). We show that the crystalline representations are Zarski-dense in many irreducible components of \({\mathfrak X }_d\), including the components made of residually irreducible representations. This extends to any dimension \(d\) previous results of Colmez and Kisin for \(d = 2\). For this we construct an analogue of the infinite fern of Gouvêa–Mazur in this context, based on a study of analytic families of trianguline \((\varphi ,\Gamma )\)-modules over the Robba ring. We show in particular the existence of a universal family of (framed, regular) trianguline \((\varphi ,\Gamma )\)-modules, as well as the density of the crystalline \((\varphi ,\Gamma )\)-modules in this family. These results may be viewed as a local analogue of the theory of \(p\)-adic families of finite slope automorphic forms and they are new already in dimension \(2\). The technical heart of the paper is a collection of results about the Fontaine–Herr cohomology of families of trianguline \((\varphi ,\Gamma )\)-modules.

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Notes

  1. L’auteur est financé par le C.N.R.S.

  2. Cela signifie que \({\bar{\rho }}\) est irréductible et le reste après extension des scalaires à \(\overline{\mathbb F }_p\). Rappelons aussi que \({\bar{\rho }}\) est nécessairement définie sur le sous-corps de \({\mathbb F }_q\) engendré par les coefficients des \(\det (t-{\bar{\rho }}(g)),g \in G_{\mathbb Q _p}\) (l’obstruction de Schur est vide pour les corps finis), de sorte qu’il n’est pas restrictif de supposer que ce corps est exactement \({\mathbb F }_q\), ce que nous faisons désormais par commodité.

  3. Précisément, si le Frobenius cristallin de \(D_{\mathrm{cris}}(\rho _x)\) est semi-simple.

  4. Le fait que l’analogue “automorphe” global de ce résultat était déjà connu est aussi la raison pour laquelle nous avions étudié le cas global en premier dans [13]. Ces deux contextes comportent des similarités évidentes mais aussi des différences importantes, par exemple on ne dispose malheureusement pas en global d’analogue de la proposition 4.3 (ii).

  5. Une conséquence de cette propriété est l’existence d’une sous-catégorie pleine, abélienne, naturelle de celle des \(\mathcal O (X)\)-modules que Schneider et Teitelbaum nomment “co-admissibles” : un \(\mathcal O (X)\)-module est dit co-admissible si il est la limite projective d’une suite de \(\mathcal O (X_n)\)-modules de type fini \(M_n\) munis d’isomorphismes \(M_{n+1} \otimes _{\mathcal O (X_{n+1})} \mathcal O (X_n) \rightarrow M_n\) pour tout \(n\ge 0\). Ces modules ont par définition une topologie canonique de \(\mathcal O (X)\)-module de Fréchet. Les \(\mathcal O (X)\)-modules de présentation finie sont admissibles, ainsi que tous leurs sous-modules de type fini et plus généralement fermés. Nous renvoyons à loc. cit pour plus de renseignements. Nous n’aurons recours à ces résultats que dans la preuve du lemme 1.3 (iv) (lui-même utilisé uniquement pour le théorème 2.33).

  6. Comme \(A\)-module, on a donc \(D^{^{\prime }(n)}=D^{(n)}\).

  7. Rappelons que d’après [14, lemme 3.18], une représentation continue \(\rho : G \rightarrow \mathrm GL _d(A)\) d’un groupe profini \(G\) étant donnée, on peut toujours trouver un recouvrement fini de \(X\) par des affinoïdes \(U_i\), ainsi que des modèles \(\mathcal A _i \subset \mathcal O (U_i)\), tels que pour tout \(i\) la représentation \(\rho \otimes _A \mathcal O (U_i)\) de \(G\) sur \(\mathcal O (U_i)^d\) stabilise un sous-\({\mathcal A }_i\)-module libre \(L_i\) de rang \(d\) tel que \(L_i[1/p]=\mathcal O (U_i)^d\).

  8. Un tel générateur n’existe bien sûr que pour \(p>2\). Quand \(p=2\), on choisit pour \(\gamma \in \Gamma \) un élément engendrant topologiquement \(\Gamma /\Gamma _{\mathrm{tors}}\) où \(\Gamma _{\mathrm{tors}}=\{\pm 1\}\). On définit ensuite \(C(D)^\bullet \) de la même manière à ceci près que de \(D\) y est partout remplacé par ses invariants \(D^{\Gamma _{\mathrm{tors}}}\) sous le groupe fini \(\Gamma _{\mathrm{tors}}\), ce qui n’altère aucun des arguments qui suivent.

  9. Ils sont discrets au sens que tout ouvert affinoïde de \({\mathcal T }\) ne rencontre qu’un nombre fini de tels points.

  10. Si \(p=2\), il faut remplacer \(A/(1-\delta (p)p^{-i})\) par \(A/(\delta (-1)+1,1-\delta (p)p^{-i})\).

  11. Pour les raisons usuelles il ne s’agit pas vraiment d’un ensemble. Pour contourner ce problème il suffit de rajouter une fois pour toutes dans la définition d’un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin régulier rigidifié de rang \(d\) sur \(\mathcal R _A\) que le \(\mathcal R _A\)-module sous-jacent est \(\mathcal R _A^d\) (plutôt que simplement, isomorphe à \(\mathcal R _A^d\)).

  12. Il est immédiat de vérifier que si \(U\) et \(V\) sont des affinoïdes, et si \(A \subset U\) et \(B \subset V\) des parties Zariski-denses, alors \(A \times B\) est Zariski-dense dans \(U \times V\).

  13. Avec éventuellement \({\bar{\rho }}\simeq {\bar{\rho }}(1)\).

  14. Il s’agit ici de poids de Hodge–Tate relativement à \(L\), c’est à dire les racines du polynôme de Sen vu comme élément de \(L[T]\).

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  1. C.N.R.S, Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, École Polytechnique, 91128,  Palaiseau Cedex, France

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Chenevier, G. Sur la densité des représentations cristallines de \(\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\) . Math. Ann. 355, 1469–1525 (2013). https://doi.org/10.1007/s00208-012-0815-z

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